Андрій Кліщук народився 3-го липня 1992-го року в Ізмаїлі (Одеська область). Виступає на позиції голкіпера. Кліщук виховувався у двох юнацьких клубах: “Дунай” (Ізмаїл) та “Моноліт” (Чорноморськ).
Професійну кар’єру Андрій розпочав в одеському “Чорноморці”, виступав за дублюючу команду “моряків”. З 2012-го по 2016-й кіпер грав за “Гірник-Спорт” із Горішніх Плавнів. Згодом у кар’єрі Кліщука були “Суми”, “Нива” (Вінниця), “Нафтовик-Укрнафта” (Охтирка), “Дніпро-1”, “Кристал” (Херсон). У 2021-му році кіпер повернувся у “Гірник-Спорт”. Через рік перейшов у “Інгулець”, але жодного матчу за команду з Петрового не зіграв. Наступні три роки провів у складі криворізького “Кривбасу”, з яким виступав у єврокубках та виграв бронзову медаль чемпіонату України.